Ordem dos elementos de um grupo aditivo/multiplicativo
No slide #44 deste capítulo, é definida a ordem de um grupo. Não ficou
claro para mim o segundo parágrafo, que diz que "A ordem de um elemento a
∈ G é o menor inteiro positivo t tal que ta = 0. É um fato bem conhecido
que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo."
Não sei se entendi isto muito bem. No grupo dos números naturais, por exemplo,
t seria 0 para todos os elementos, não? Alguém poderia, por favor, contribuir
com algum exemplo que trouxesse um grupo contendo elementos de pelo menos duas
ordens diferentes? Ou, caso isto não exista, algum grupo em que t tenha um
valor diferente de zero... (Não sei se ficou clara minha dúvida! Qualquer
coisa, favor comentar e eu tento alterar aqui!)
Tem alguns problemas no seu exemplo:
Esse teorema só vale para grupos finitos.
\(t\) deve ser estritamente positivo, maior que 0.
Os números naturais não formam um grupo para a adição, pois eles não incluem os números negativos. Mesmo nos números inteiros, o único elemento que tem ordem é o próprio 0 (ordem 1), pois todos os outros vão crescendo indefinidamente quando somados progressivamente.
Pegando um exemplo válido: o grupo \(\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}\), com a soma módulo 4. Temos
\(0 = 0\) : ordem 1
\(1 + 1 + 1 + 1 = 0\) : ordem 4
\(2 + 2 = 0\) : ordem 2
\(3 + 3 + 3 + 3 = 0\) : ordem 4
Como você pode ver, todas essas ordens dividem a ordem do grupo, que é 4.