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http://umamao.com/questions/Como-demonstrar-...rs/4c8906ea79de4f1a200004e2
Genial!
Eu tinha notado essa semelhança entre a expressão do problema e a expressão do termo geral da Seq. de Fibonacci... mas não sabia sobre polinômios característicos de relações de recorrência, ou seja, não conseguiria terminar o problema por esse caminho.
Mt obrigado pela resposta!
De nada! :)
Se tiver encontrado alguma fonte legal explicando os polinômios característicos coloca aí!
O livro que eu achei que fala bem sobre essa parte de recorrência linear é o "Introdução à Teoria dos Números", do José Plínio de Oliveira Santos. Ele demonstra como chegar à formula do termo geral de recorrências lineares. Embora ele não use a terminologia "polinômio característico", ele faz basicamente os mesmos passos que você fez.
E eu acho que a sua fórmula do termo geral da Seq de Fibonacci tá errada. Seria uma subtração entre os dois membros, e toda a expressão dividida por raiz de 5.
Eu tinha escrito meio de cabeça, vi que não batia com a da wikipedia mas achei que fosse só porque tá escrito completamente diferente. Pelo que vi agora o que eu escrevi é uma Fibonacci começando com F1 = 1 e F2 = 3. Assim que eu conseguir lembrar como faz para arrumar o termo inicial edito a resposta. A parte do H eu tive mais cuidado, conferi no computador e os valores estavam batendo com os de G.
Sua correção estava certa Leonardo, corrigi essa parte e também uma outra falha que eu havia cometido (tinha achado que havia um grau de liberdade na escolha do a e do c).
No livro que eu citei ele explica bem toda essa parte. Sua resolução tá formalmente correta, acredito eu, mas se vc tiver um tempo pegue e leia lá [página 84].
A única coisa que eu vi que diferença é que vc supôs um polinômio característico do segundo grau, mas isso na verdade não é uma suposição, em se tratando de recursões lineares, mas de uma regra proveniente de um método de obtenção dessa expressão fechada.
http://umamao.com/questions/Como-demonstrar-...rs/4c8906ea79de4f1a200004e8
Na verdade, não é exatamente indução forte, pois eu preciso de dois casos base. Em indução forte, eu precisaria apenas de um e usaria como hipótese a validade de P para todo n' <= n.
Bom isso é só semântica, mas isso é o que eu conheço por indução forte (ou completa). http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction#Complete_induction
umamao.com/questions/Como-demonstrar-que-para-qualquer-inteiro...
Como demonstrar que, para qualquer inteiro positivo n, o valor de \(\left ( \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right )^n\) + \(\left ( \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \right )^n\) é ...
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Como demonstrar que, para qualquer inteiro positivo n, o valor de \(\left ( \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right )^n\) + \(\left ( \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \right )^n\) é um número ímpar?
Deparei-me com um exercício da Competição Iberoamericana Interuniversidades de Matemática do ano passado que pedia o seguinte:
Demonstrar que, para qualquer inteiro positivo n, o valor de \(\left ( \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right )^n\) + \(\left ( \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \right )^n\) é um número ímpar.
Eu tentei a expansão dos dois em binômios de Newton, e percebi que para k's ímpares os valores se cancelam, e para k's pares os valores são iguais, de onde eu fiquei com a seguinte expressão para essa soma:
\(\frac{1}{2^{n-1}}\left (\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}} {n \choose 2i} 3^{n-2i} 17^i \right )\)
Para mostrar que é ímpar, eu tenho que mostrar que o somatório tem exatamente (n - 1) vezes 2 na fatoração em primos. Como fazer isso?
Ou se alguém pensar eu outra forma de solucionar o problema, ideias são muito bem vindas.
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