Dado um grafo \(G\), podemos considerar o grupo dos automorfismos de \(G\), i.e.,
as bijeções \(G \rightarrow G\) que preservam a estrutura do grafo. Um teorema
dado em sala garante que é possível fazer a passagem contrária - dado um
grupo finito, existe um grafo cujo grupo de automorfismos é isomorfo a ele.
Por exemplo, o grupo de automorfismos de um grafo completo com \(n\) vértices
é isomorfo ao grupo de permutações de \(n\) elementos, \(S_n\). O grupo de
automorfismos de um ciclo com 4 vértices é isomorfo a \((\mathbb Z / 2 \mathbb
Z)^3\).
Em que circunstâncias essa dupla visão pode ser útil? Que propriedades de
um grafo transparecem em seu grupo de automorfismos? Que propriedades de um
grupo finito ficam mais evidentes quando examinando seu grafo correspondente?
Há uma página na Wikipedia falando um pouco sobre o assunto, mas não
fala muito sobre aplicações, e só dá umas referências meio densas...
O que significa (Z/2Z)^3?
(Z/2Z) é o grupo quociente, neste caso, é o grupo formado pelos elementos 0,1. Assim, (Z/2Z)^3 é o grupo formado pelas triplas binarias.