No slide #44 deste capítulo, é definida a ordem de um grupo. Não ficou
claro para mim o segundo parágrafo, que diz que "A ordem de um elemento a
∈ G é o menor inteiro positivo t tal que ta = 0. É um fato bem conhecido
que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo."
Não sei se entendi isto muito bem. No grupo dos números naturais, por exemplo,
t seria 0 para todos os elementos, não? Alguém poderia, por favor, contribuir
com algum exemplo que trouxesse um grupo contendo elementos de pelo menos duas
ordens diferentes? Ou, caso isto não exista, algum grupo em que t tenha um
valor diferente de zero... (Não sei se ficou clara minha dúvida! Qualquer
coisa, favor comentar e eu tento alterar aqui!)
http://umamao.com/questions/388/ordem-dos-elementos-de-um-grupo-aditivo-multiplicativo
Pergunta derivada: http://umamao.com/questions/388/ordem-dos-elementos-de-um-grupo-aditivo-multiplicativo
Essa definição de ordem de elemento está correta? Porque, como o João apontou, se é o "menor inteiro positivo", para os inteiros simplesmente não há ordem para nenhum elemento.
Quer dizer, não existiria para o caso dos inteiros + multiplicação. Inteiros + adição funcionaria.
Aliás, não é impossível ter um grupo com naturais/inteiros + multiplicação normal? Faltaria o inverso. E pros naturais também não rola um grupo com adição pelo mesmo motivo, não? (veja que eu não sei praticamente nada de álgebra/grupos, posso estar falando asneira.)