Prova de não transitividade das arestas

Estou com dificuldade para provar que um determinado grafo não é transitivo
nas arestas. A dúvida veio do item b da questão:

Um grafo \(G\) é transitivo nos vértices se para todo par de vértices \(u,
v \in V(G)\) existe um automorfismo que leva \(u\) em \(v\). Um grafo \(G\) é transitivo
nas arestas se para todo par de arestas \(e, f \in E(G)\) existe um automorfismo
de \(G\) que leva os extremos de \(e\) nos extremos de \(f\) (em qualquer ordem).

a) ...

b) Dê um exemplo de um grafo que é transitivo nos vértices mas não é nas
arestas.

Tentei muito fazer, até que desisti e olhei a resposta da professora: \(G =
\bar{C_6}\) (ela só diz qual o grafo mesmo).

É fácil ver que \(G\) é transitivo nos vértices, mas não estou conseguindo
mostrar que não é transitivo nas arestas.

Minha intuição é que a prova venha do fato de um isomorfismo de \(G\) ser
também um isomorfismo de \(\bar{G}\), e, seria possível, supondo a transitividade
das arestas, encontrar uma contradição olhando para a ação de um determinado
isomorfismo no \(\bar{G} = C_6\) - algo como dois vértices opostos no \(C_6\)
deixariam de ser opostos na imagem do isomorfismo.

Estou estagnado nessa intuição sem conseguir escrever ela de verdade e estou
começando a achar que talvez tenha um caminho mais simples. Alguma sugestão?